文章总结： 文档讲解了高等数学中商的求导法则及其在复合函数求导中的应用。作者回顾了链式法则和反三角函数求导公式，详细拆解了求解y=arctan((1+x)/(1-x))导数的过程，包含公式推导、代数化简及定义域讨论。内容旨在通过具体习题帮助学生掌握相关微积分解题技巧。 综合评分： 15 文章分类： 其他

高数挂科补救计划-初中基础反向学习高数题-商的求导法则

原创

小志z

志在片语

2026年1月3日 02:18 山东

一晃眼就26年了，离考试周还有三周不到的时间(我要快一点速通一下了 （希望不挂科

求导

回顾上一题的解题思路

对于

先回顾所有用到的公式

1. 反三角函数求导公式（核心）
2. 三角函数求导公式
3. 链式法则
4. 三角恒等式
5. 绝对值处理规则

带入公式解题

步骤1：识别函数结构函数：y = arcsin(sin x) 结构：反三角函数 arcsin 套在三角函数 sin x 外面 → 复合函数

步骤2：设中间变量设 u = sin x，则：

• 外层：y = arcsin u
• 内层：u = sin x

步骤3：应用链式法则

步骤4：代入公式计算(1) 外层导数（反三角公式）：

(2) 内层导数（三角公式）：

(3) 相乘得：

步骤5：代回 u = sin x

步骤6：使用三角恒等式化简

步骤7：处理平方根

所以：

步骤8：分析符号（分段讨论）

当

当

未定义当

步骤9：确定具体区间

(1) cos x > 0：

(2) cos x < 0：

(3) cos x = 0：

回到这道题

求导

很明显的能看出来和上道题基本一致，可是内层函数不是简单的用求导公式就能解决的，因为是除法所以要用到商的求导法则，先学习一下这个东西

商的求导法则

商的求导法则用于求两个函数相除的导数。

公式如下：

为了快速做题今天先不推导了 先交上期末作业再说 之后学习推导

简单来说就是 分子导数乘分母，减去分子乘分母导数，整体除以分母平方

举个简单例子： 求  的导数

设 ，

代入公式：

本题需要用到的所有公式

反正切函数求导公式

链式法则

商的求导法则（新学的）

解题步骤

步骤1：识别函数结构函数：结构：反三角函数  套在分式函数  外面 → 复合函数

步骤2：设中间变量设 ，则：

• 外层：
• 内层：

步骤3：应用链式法则

步骤4：计算外层导数

步骤5：计算内层导数（使用商的求导法则）这里 ，可以看成：

• 分子：，
• 分母：，

代入商的求导公式：

步骤6：相乘得到导数

步骤7：代回  并化简

化简括号内的部分：

代入 ：

步骤8：检查定义域

• 原函数：分母 ，所以
• 导数： 对任意实数  都有定义
• 但  时原函数无定义，所以最终定义域：

步骤9：最终答案

免责声明：

本文所载程序、技术方法仅面向合法合规的安全研究与教学场景，旨在提升网络安全防护能力，具有明确的技术研究属性。

任何单位或个人未经授权，将本文内容用于攻击、破坏等非法用途的，由此引发的全部法律责任、民事赔偿及连带责任，均由行为人独立承担，本站不承担任何连带责任。

本站内容均为技术交流与知识分享目的发布，若存在版权侵权或其他异议，请通过邮件联系处理，具体联系方式可点击页面上方的联系我。

本文转载自：志在片语 小志z《高数挂科补救计划-初中基础反向学习高数题-商的求导法则》