2025-12-22 04:27:42 网络安全文章来源：ZONE.CI 全球网 0 阅读模式

文章总结： 本文介绍了香农的完善保密性(PerfectSecrecy)理论及其数学证明。核心公式为Pr(M=m|C=c)=Pr(M=m)，表明密文不提供任何关于明文的信息。文章证明了实现完善保密性的两个必要且充分条件：1)密钥空间大小≥明文空间大小(|K|≥|M|)；2)对任意明文和密文，存在唯一密钥使得加密成立。通过贝叶斯公式和全概率公式，文章严谨地推导了这些条件的必要性和充分性，为一次一密密码系统提供了理论基础。 综合评分： 86 文章分类： 应用安全,网络安全,其他

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密码学：香农一次一密是绝对安全的证明过程

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2025年12月15日 15:52 浙江

香农将“绝对安全” 正式命名为完善保密性（Perfect Secrecy），并通过数学推导明确了其唯一实现方案与边界条件。

a.关键公式：完善保密性的核心公式是

Pr(M=m | C=c) = Pr(M=m) （1）

其中：Pr (M=m)：“没看到密文时，明文是 m” 的概率（先验概率）；

Pr (M=m | C=c)：“看到密文 c 后，明文是 m” 的概率（条件概率）。

该公式的含义：无论是否看到密文，猜中明文的概率都不变—密文没透露任何有用信息。

b. 证明的几个概念：

l明文相关的几个概念：

明文空间M：所有可能明文的集合；

概率分布Pr (M=m)：每个明文出现的概率；

l密钥相关的几个概念：

密钥空间K：所有可能密钥的集合；

概率分布Pr (K=k)：完美加密要求 “均匀随机”，即每个密钥的概率相等，Pr (K=k)=1/|K|；

关键约束：密钥需与明文独立（密钥的选择不依赖于明文内容）。

l密文相关的几个概念：

密文空间C：所有可能密文的集合（由加密函数生成，空间大小 | C | 通常与 | K | 一致）；

加密函数：C=E (K,M)，即密文由密钥和明文共同决定；

概率分布Pr (C=c)：密文 c 的概率是 “所有明文 + 密钥生成 c” 的概率之和（通过全概率公式计算）。

c. 定义：香农对完善保密性的严格定义为：对任意明文m∈M、任意密文 c∈C（且 Pr (C=c)>0），均有 Pr (M=m | C=c) = Pr (M=m)。

说明：若公式成立，说明“密文 c 与明文 m 相互独立”—— 密文无法提供任何关于明文的信息，敌人看到 c 后，对 m 的认知没有变化；

d. 定理：香农证明：密码系统满足完善保密性，当且仅当以下两个条件同时成立：

条件1：密钥空间大小≥明文空间大小，即 | K|≥|M|；

条件2：对任意明文 m∈M、任意密文 c∈C，存在唯一密钥 k∈K，使得 E (k,m)=c（加密函数对固定 m 是 “双射”）。

l条件2的必要性证明：

根据完善保密性定义得公式（1），即Pr (M=m | C=c)=Pr (M=m)，

结合贝叶斯公式：

Pr(M=m | C=c) = [Pr(C=c | M=m)·Pr(M=m)] / Pr(C=c) （2）

将定义代入公式（2），化简可得：

Pr(C=c | M=m) = Pr(C=c) （3）

该等式说明：“给定明文 m 时生成密文 c 的概率”，与 “密文 c 本身的概率” 完全一致，与明文 m 无关—这是后续推导的核心基础。

“双射性”指：对固定明文m，每个密文 c∈C 都对应唯一密钥 k∈K（即 “一个 c→一个 k”，无重复对应）。采用反证法：

假设存在两个不同密钥k₁≠k₂，使得 E (k₁,m)=E (k₂,m)=c（一个 c 对应两个不同的k）。由于密钥均匀随机，得

Pr (K=k₁)=Pr (K=k₂)=1/|K| （4）

则：

Pr (C=c | M=m) = Pr (E (K,m)=c | M=m) = Pr (K=k₁ 或 K=k₂) = 2/|K| （5）

根据公式（3）的结论Pr (C=c|M=m)=Pr (C=c)，得：

Pr (C=c)=2/|K| （6）

但通过全概率公式计算Pr (C=c)：Pr (C=c) = Σ（对所有 m’∈M）Pr (M=m’)・Pr (C=c | M=m’)

由于Pr (C=c | M=m’)=Pr (C=c)=2/|K|（根据公式3，对任意m’ 成立），则：

Pr (C=c) = (2/|K|)・Σ（对所有 m’∈M）Pr (M=m’) = 2/|K|（因 ΣPr (M=m’)=1）

看似成立，但当| M|>1 时会出现矛盾：

若| M|=2（m₁和 m₂）、|K|=2（k₁和 k₂），则 “生成 c 的密钥仅有 k₁和 k₂”。当加密 m₁时用 k₁，加密 m₂时只能用 k₂（k₁已被 m₁占用），此时 Pr (C=c | M=m₁)=1/|K|=1/2≠2/|K|，与 “Pr (C=c|M=m’)=2/|K|” 矛盾。

因此，“一个 c 对应多个 k” 的假设不成立，加密函数对固定 m 必为双射 —— 条件 2 得证。

l条件1的必要性证明：

由条件2（双射性）可知：对固定明文 m，加密函数 E (k,m) 是 “从 K 到 C 的双射”，因此 | K|=|C|（双射的两个集合大小相等）。

同时，对任意密文c∈C，由条件 2（双射性）：每个明文 m∈M 都对应唯一密钥 k∈K 生成 c—— 这意味着 c 至少对应 | M | 个不同的 k（每个 m 对应一个 k）。由于 k∈K，故 | K|≥|M|—— 条件 1 得证。

l充分性证明：

对固定明文m 和密文 c，由条件 2（双射性）：存在唯一密钥 k₀∈K，使得 E (k₀,m)=c。因此：

Pr (C=c | M=m) = Pr (E (K,m)=c | M=m) = Pr (K=k₀) = 1/|K| （7）

（密钥均匀随机，Pr (K=k₀)=1/|K|）。

由全概率公式，结合公式7（对任意m’∈M，Pr (C=c | M=m’)=1/|K|）：

Pr (C=c) = Σ（对所有 m’∈M）Pr (M=m’)・Pr (C=c | M=m’) = Σ（对所有 m’∈M）Pr (M=m’)・(1/|K|)

由于Σ（对所有 m’∈M）Pr (M=m’)=1（所有明文的概率和为 1），因此：

Pr(C=c) = (1/|K|)·1 = 1/|K| （8）