反对初中平面几何辅助线的神秘主义

原创

沈沉舟
沈沉舟

青衣十三楼飞花堂

2026年6月22日 19:00
北京

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等腰Rt中，，，为上动点，为上动点，满足，求最小值。

这是一道三角形中双动点最值题，第一次遇上此题，不知预期解是啥，说一下scz的自然推导过程。

不太习惯处理，更习惯处理、。将原式转换成

三角形中很容易构造、。

自然想到延长至，使得，将转移至。为什么想到这步呢？这种题极大可能利用两点之间线段最短，原来的太折叠了，转移成则舒展得多。

注意，两点之间线段最短，这个准则有个重要得以至于从不强调的前提，两定点之间线段最短。若一头是动点，此准则并不成立。

现在来看，自然想到构造，，垂足为。于是，。

若是定点，最小值是。思路转换成，证明是定点。当然，不一定是定点，但一路分析下来，是定点的可能性相当大。

可严格证明(略)，在中垂线上，且是等腰直角三角形，这样的必是定点。

但实际上，作图作出后，我肉眼观察了一下，似乎有、。根据题干，这几乎是铁板钉钉的，所以并未第一时间严格推导，而是直接作中垂线上仰角处的定点，以此为根据地补齐其他辅助线，正向证明后(略)，求，再求。

若不写前面的分析，看到的将是一种神秘、来路不明的正向辅助线解题过程，只有，没有。你会疑惑，起初为什么要找这样的定点，怎么想到的？

知道定点在哪儿，再去证明它就是要找的定点，并不难。难在不知定点何在时，找出定点。本例演示了如何自然推导，找出定点。

换个思路，相当于以为直角边构造等腰直角三角形。以点为直角顶点构造等腰Rt。是有了，但怎么搬运到附近呢。附近必有一个定点，恒满足，需要找出。

找出有两种思路，一种是完全正向推理尝试，另一种比较取巧。说一下后者，因为定点找得很顺利，有没有可能通过间接找？

以点为直角顶点构造等腰Rt，即可定位，显然这样得到的也是定点。再以点为直角顶点构造等腰Rt，得到。用脚趾头想，都会连接，尝试证明。但这种思路下，想证明，就不太自然，首先得证，，，略。

我不是这么干的。通过作出后，肉眼观察了一下，似乎有。大胆假设是另一个可用于求解的定点，通过倍长得到，以此为根据地补齐其他辅助线，正向证明(略)，完全不依赖。

制造时，为什么不以点为直角顶点构造等腰Rt？若以点为直角顶点构造等腰直角三角形，出现在斜边上，斜边两个端点都是动点，完全没机会利用\"两(定)点之间线段最短\"。

本例不只找到定点，还找到定点，均可用于求解。我找时更自然，倾向于用点求解。但我的解可能不是最优解，也不是预期解，无所谓。

之所以写前面的探索，是为展示如何自然而然寻找可用于求解的定点，反对神秘主义。

初中平面几何动点最值，除了两(定)点之间线段最短，常见还有圆外一点过圆心的直线与圆相交于两点，所谓一箭穿心式。对于后者，圆心就是要找的定点，圆外那点是另一个定点，动点一般在圆周上。

根据题干找定点，找出定点就胜利一半，另一半是严格证明之。神秘主义的特点之一，只告诉你这样作图得到定点，不解释怎么想到这样作图的。话说回来，可能只是懒，毕竟大多数时候，我也懒得解释。

若是应届初中生，你可不能懒，哪怕别人告诉你了正确解法，你也得追问，怎么想到这里的？坚持这个追问，坚持一生，谁赚谁知道。