阿氏圆极值题的另类解法

原创

沈沉舟
沈沉舟

青衣十三楼飞花堂

2026年6月13日 00:00
北京

在小说阅读器读本章

去阅读

在  中 ，， 是  中点， 在射线  上，满足 。求  最小值、最大值。

此题有个初中阿氏圆解法，太隐蔽了。没见识过这种题型的，比如我，哪里想得到往阿氏圆上靠。而且之前还忽略了  在射线上，误以为  是形内点。当时在渣浪问这题是不是出得有问题（其实无），从网友 UID(1412802191) 那儿得到一个神奇思路。

他猜出  的轨迹可能是圆。这也能猜出来？离谱，什么神仙数感。假设  点是原点，取 ，分别为 、、 度，算出  的坐标。得到圆方程 。剩下的就很好办。

我细说一下他这个思路，设圆方程为

设  为 ，调整 ，使之依次为 、、 度， 的坐标分别是

利用相似比可证此时

、重合

代入圆方程，求解 、、。这三个点比较特殊，可巧解三元二次方程组。

观察  的三个坐标，显然有两条直角边，三点构成直角三角形。

直角三角形的外心在斜边中点，斜边是外接圆的一条直径。

求 、 的中点坐标，即圆心坐标

求 ，即斜边一半长

（勾股定理）

连接  与圆心，所在直线与圆的两个交点即极值点，过于直白，略。

他这个思路，中考大题可能没法用，总不能说“我猜  的轨迹是圆”吧。此外，解析几何、圆方程，这些数学工具中考可能不让用。但我收藏了他的思路，万一碰上的不是大题呢，万一题干写的是“直接写出答案”呢，我真见过。