前几天那道逆等线的神奇解法

原创

UID(1412802191)
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青衣十三楼飞花堂

2026年7月2日 00:00
北京

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前几天提到一道平面几何双动点最值题，似乎是所谓的“逆等线”。

当时为了筛掉刷题党，加了特别约定，不许过C点作辅助线。

这题，平面几何解法没什么可说的，但我没想出好的代数解法，因为它求的不是最小长度，而是求最小长度出现时的某个角度。用代数办法求出极值情形下CE的长度，进而各种三角函数运算求出，我只会这种推土机法。

在渣浪提及此题后，神奇的四川网友UID(1412802191)，向我展示了一个令人惊艳的\"代数+几何\"解法。

设、，。由几何关系可知，随着增大，单调减小，先减小，当后，增大。由此可知，所对应的在区间。

只考虑到达1后的情形，即从运动至中点后的情形，从(对应中点)向递减，从向递增。

假设增大，则减小，增加，随增大的变化量。当，；当，；仅当，。

此处可根据余弦函数在的单调性，分析得出，在运动过程中从负数开始单调递增。

由是，时，到达，此时、。

时，(邻补角相等)，、、、四点共圆，。

这应该是原题(代数、几何)所有解法中最简洁的解法，纯心算，瞪眼法秒解。

随后，他指出，若将约束条件改为 ()，极值条件对应。

当然，实际出题时，不太可能出现其他值。时，从推的值，非常复杂，无法手工求解。

纯好奇地试了一下，设、、，用WolframAlpha求出、弧度。

中学阶段求角度时，应该只会碰上的情形，此时他这个办法爽得飞起。当然，解大题时，要严谨地书写证明过程。