文章总结： 文档以高数挂科补救为背景，详细讲解商的求导法则在反三角函数求导中的应用。通过y=arctan((1-x)/(1+x))例题演示链式法则与商法则的结合使用，提供完整的解题步骤和定义域分析。文章强调公式应用和分段讨论方法，适合急需掌握求导技巧的学生快速备考。 综合评分： 65 文章分类： 其他

高数挂科补救计划-初中基础反向学习高数题-商的求导法则

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小志z 小志z

志在片语

2026年1月3日 02:18 山东

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一晃眼就26年了，离考试周还有三周不到的时间(我要快一点速通一下了 （希望不挂科

求导

回顾上一题的解题思路

对于

先回顾所有用到的公式

1. 反三角函数求导公式（核心）
2. 三角函数求导公式
3. 链式法则
4. 三角恒等式
5. 绝对值处理规则

带入公式解题

步骤1：识别函数结构函数：y = arcsin(sin x) 结构：反三角函数 arcsin 套在三角函数 sin x 外面 → 复合函数

步骤2：设中间变量设 u = sin x，则：

• 外层：y = arcsin u
• 内层：u = sin x

步骤3：应用链式法则

步骤4：代入公式计算(1) 外层导数（反三角公式）：

(2) 内层导数（三角公式）：

(3) 相乘得：

步骤5：代回 u = sin x

步骤6：使用三角恒等式化简

步骤7：处理平方根

所以：

步骤8：分析符号（分段讨论）

当

当

未定义当

步骤9：确定具体区间

(1) cos x > 0：

(2) cos x < 0：

(3) cos x = 0：

回到这道题

求导

很明显的能看出来和上道题基本一致，可是内层函数不是简单的用求导公式就能解决的，因为是除法所以要用到商的求导法则，先学习一下这个东西

商的求导法则

商的求导法则用于求两个函数相除的导数。

公式如下：

为了快速做题今天先不推导了 先交上期末作业再说 之后学习推导

简单来说就是 分子导数乘分母，减去分子乘分母导数，整体除以分母平方

举个简单例子： 求  的导数

设 ，

代入公式：

本题需要用到的所有公式

反正切函数求导公式

链式法则

商的求导法则（新学的）

解题步骤

步骤1：识别函数结构函数：结构：反三角函数  套在分式函数  外面 → 复合函数

步骤2：设中间变量设 ，则：

• 外层：
• 内层：

步骤3：应用链式法则

步骤4：计算外层导数

步骤5：计算内层导数（使用商的求导法则）这里 ，可以看成：

• 分子：，
• 分母：，

代入商的求导公式：

步骤6：相乘得到导数

步骤7：代回  并化简

化简括号内的部分：

代入 ：

步骤8：检查定义域

• 原函数：分母 ，所以
• 导数： 对任意实数  都有定义
• 但  时原函数无定义，所以最终定义域：

步骤9：最终答案

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